9

Целое число 9

Натуральное число

9 ( девять ) — натуральное число , следующее за 8 и предшествующее 10 .

Эволюция индуистско-арабской цифры

Около 300 г. до н.э. в составе цифр Брахми различные индийцы писали цифру 9, похожую по форме на современный закрывающий вопросительный знак , без нижней точки. Кшатрапа, Андхра и Гупта начали изгибать нижнюю вертикальную линию, образуя тройку двойников . Нагари продолжил нижнюю черту, чтобы образовать круг и заключить в него двойник 3, почти так же, как знак @ окружает строчную букву a . Со временем окружающий круг стал больше, а его линия продолжилась за кругом вниз, а 3-двойник стал меньше. Вскоре от трех двойников осталась только закорючка. Арабы просто связали эту закорючку с движением вниз в середине, и последующие европейские изменения были чисто косметическими.

В то время как форма глифа для цифры 9 в большинстве современных шрифтов имеет восходящую часть , в шрифтах с текстовыми цифрами символ обычно имеет нижнюю часть , как, например, в.

Современная цифра напоминает перевернутую 6 . Чтобы устранить неоднозначность в объектах и ​​документах, которые можно инвертировать, их часто подчеркивают. Еще одно отличие от цифры 6 состоит в том, что иногда она пишется от руки двумя штрихами и прямой основой, напоминающей приподнятую строчную букву q . На семисегментном индикаторе цифра 9 может быть построена как с крючком на конце ножки, так и без него. В большинстве ЖК- калькуляторов используется первый вариант, но в некоторых моделях с ЧРП используется второй.

Математика

Девять — четвертое составное число и первое составное число, которое нечетно. Девятка — это третье квадратное число (3 ² ), второе неединичное квадратное простое число формы p ² , причем первое нечетное, причем все последующие квадраты этой формы также нечетны. Девять имеет четную аликвотную сумму 4 и составную числовую последовательность из двух (9, 4, 3 , 1 , ) в дереве 3 -аликвот. Существует девять чисел Хегнера , или положительных целых чисел без квадратов , которые дают мнимое квадратичное поле , кольцо целых чисел которого имеет уникальную факторизацию или номер класса 1. ^[1] По теореме Михайлеску , 9 — единственная положительная совершенная степень , равная единице. больше, чем другая положительная совершенная степень, поскольку квадрат 3 на единицу больше куба 2. ^{[2] [3]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-n}}\right]}$

9 — это сумма кубов первых двух ненулевых положительных целых чисел, что делает его первым числом кубической суммы, большим единицы . ^[4] Это также сумма первых трех ненулевых факториалов и равна третьему экспоненциальному факториалу , поскольку ^[5] ${\displaystyle 1^{3}+2^{3}}$ ${\displaystyle 1!+2!+3!}$ ${\displaystyle 9=3^{2^{1}}.}$

Непересекающиеся хорды между четырьмя точками окружности

Девять — это число нарушений , равное 4, или количество перестановок четырёх элементов без фиксированных точек . ^[6]

9 — четвертое рефакторизуемое число , так как оно имеет ровно три положительных делителя, и 3 — один из них. ^[7]

Число, равное 4 или 5 по модулю 9, не может быть представлено в виде суммы трёх кубов . ^[8]

Если существует нечетное совершенное число , оно будет иметь как минимум девять различных простых делителей . ^[9]

9 — число Моцкина , обозначающее количество способов провести непересекающиеся хорды между четырьмя точками окружности . ^[10]

Четыре концентрических магических круга с цифрой 9 в центре (автор Ян Хуэй ), где числа на каждом круге и диаметр вокруг центра генерируют магическую сумму 138 .

Первый нетривиальный магический квадрат — это магический квадрат x , состоящий из девяти ячеек, с магической константой 15. ^[11] Между тем, магический квадрат x имеет магическую константу 369 . ^[12] ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 9}$

Многоугольник с девятью сторонами называется девятиугольником . ^[13] Поскольку 9 можно записать в виде для любых неотрицательных натуральных чисел и с произведением простых чисел Пьерпона , правильный девятиугольник можно построить с помощью правильного циркуля , линейки и трисектора угла . ^[14] ${\displaystyle 2^{m}3^{n}p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

Также эннеагон , правильный девятиугольник, может заполнять плоскость-вершину рядом с равносторонним треугольником и правильным 18-сторонним восьмиугольником ( 3.9.18 ), и поэтому это один из девяти многоугольников, которые могут заполнять плоскость. -вершина без равномерного замощения плоскости . ^[15]

Существует девять различных однородных раскрасок треугольной и квадратной мозаики , которые являются двумя простейшими правильными мозаиками ; с другой стороны, шестиугольная мозаика имеет три различных однородных цвета .

Существует максимум девять полуправильных архимедовых мозаик из выпуклых правильных многоугольников, если включить киральные формы курносых гексагональных мозаик .

Существует девять однородных выпуклых многогранников с транзитивными ребрами в трех измерениях :

• пять правильных платоновых тел : тетраэдр , октаэдр , куб , додекаэдр и икосаэдр ;
• два квазиправильных архимедовых тела : кубооктаэдр и икосододекаэдр ; и
• два каталонских тела : ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр , двойственные только двум квазиправильным многогранникам.

По правилам Миллера девять различных звездочек образуются из усеченного тетраэдра . ^[16] Это простейшее архимедово тело, имеющее в общей сложности четыре равносторонние треугольные и четыре шестиугольные грани.

В четырехмерном пространстве существуют девять паракомпактных гиперболических сотовых групп Кокстера , а также девять правильных компактных гиперболических сот из правильных выпуклых и звездчатых полихор . ^[17] В четвёртом измерении также имеется девять однородных демитессерактических ( ) евклидовых сот . ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

Существует только три типа групп Кокстера однородных фигур в измерениях девять и более, помимо множества семейств призм и пропризм : группы симплексов , группы гиперкубов и группы полугиперкубов . Девятое измерение также является последним измерением, которое содержит диаграммы Кокстера-Динкина как равномерные решения в гиперболическом пространстве . С учетом компактных гиперболических решений всего существует 238 компактных и паракомпактных диаграмм Кокстера-Динкина между размерностями два и девять или, что эквивалентно, между рангами от третьего до десяти. Наиболее важной из последних паракомпактных групп является группа с общим числом 1023 сот, самая простая из которых — 6 21 , вершинная фигура которой — соты 5 21 : расположение вершин максимально плотной упаковки сфер в 8 измерениях , которая образует решетку. . Соты 6 ₂₁ состоят из 9-симплексов и 9-ортоплексов , причем каждый 9-симплекс состоит из 1023 элементов многогранника . Это последняя сотовая фигура с бесконечными гранями и фигурами вершин в семействе полуправильных многогранников k ₂₁ , впервые определенных Торольдом Госсетом в 1900 году. ${\displaystyle \mathrm {A} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{9}}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}_{9}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{8}}$

В десятичном формате

9 — высшее однозначное число в десятичной системе .

Положительное число делится на девять тогда и только тогда, когда его цифровой корень равен девяти:

• 9 × 2 = 18 (1 + 8 = 9)
• 9 × 3 = 27 (2 + 7 = 9)
• 9 × 9 = 81 (8 + 1 = 9)
• 9 × 121 = 1089 (1 + 0 + 8 + 9 = 18; 1 + 8 = 9)
• 9 × 234 = 2106 (2 + 1 + 0 + 6 = 9)
• 9 × 578329 = 5204961 (5 + 2 + 0 + 4 + 9 + 6 + 1 = 27; 2 + 7 = 9)
• 9 × 482729235601 = 4344563120409 (4 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 3 + 1 + 2 + 0 + 4 + 0 + 9 = 45; 4 + 5 = 9)

То есть, если любое натуральное число умножить на 9 и цифры ответа многократно складывать, пока не останется одна цифра, сумма будет равна девяти. ^[18]

В системе счисления - делители имеют такое свойство, что делает 3 единственным числом, кроме 9 в десятичной дроби , которое разделяет это свойство. Еще одним следствием того, что 9 равно 10–1, является то, что это число Капрекара . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N-1}$

Есть и другие интересные закономерности, включающие числа, кратные девяти:

• 9 × 12345679 = 111111111
• 18 × 12345679 = 222222222
• 81 × 12345679 = 999999999

Разница между положительным целым числом по основанию 10 и суммой его цифр кратна девяти. Примеры:

• Сумма цифр числа 41 равна 5, а 41 − 5 = 36. Цифровой корень числа 36 равен 3 + 6 = 9.
• Сумма цифр числа 35967930 равна 3 + 5 + 9 + 6 + 7 + 9 + 3 + 0 = 42, а 35967930 − 42 = 35967888. Цифровой корень числа 35967888 равен 3 + 5 + 9 + 6 + 7 + 8. + 8 + 8 = 54, 5 + 4 = 9.

Если разделить число на количество девяток, соответствующее количеству его цифр, число превратится в повторяющуюся десятичную дробь . (например274/999= 0,274274274274... )

Выбрасывание девяток — это быстрый способ проверить вычисления сумм, разностей, произведений и частных целых чисел, известный еще в XII веке. ^[19]

Шесть повторяющихся девяток появляются в десятичных знаках с 762 по 767 числа π . (См. шесть девяток в числе Пи ).

Перечень основных расчетов

Алфавиты и коды

• В фонетическом алфавите НАТО цифра 9 называется «Девятка».
• Пятизначные коды продуктов PLU , начинающиеся с 9, обозначают органические продукты .

Культура и мифология

Индийская культура

Девять — число, которое часто встречается в индийской культуре и мифологии. Некоторые случаи перечислены ниже.

• В индийской астрологии засвидетельствовано девять влиятельных лиц .
• В ветви индуистской философии Вайшешика существует девять универсальных субстанций или элементов: Земля , Вода , Воздух , Огонь , Эфир , Время , Пространство , Душа и Разум .
• Наваратри — девятидневный фестиваль, посвященный девяти формам Дурги .
• Наваратна , что означает «девять драгоценностей», может также относиться к Наваратнам – опытным придворным, Навратану – своего рода блюду или форме архитектуры .
• В индийской эстетике существует девять видов Расы .

китайская культура

• Девять (九; пиньинь : jiϔ ) считается хорошим числом в китайской культуре , поскольку оно звучит так же, как слово «долговечный» (久; пиньинь : jiϔ ). ^[20]
• Девятка прочно ассоциируется с китайским драконом , символом магии и силы. Существует девять форм дракона, он описан в терминах девяти атрибутов и имеет девять детей. Имеет 117 весов – 81 ян (мужское, небесное) и 36 инь (женское, земное). Все три числа кратны 9 ( 9 × 13 = 117 , 9 × 9 = 81 , 9 × 4 = 36 ) ^[21] , а также имеют один и тот же цифровой корень из 9.
• Дракон часто символизирует Императора , а цифру девять можно найти во многих орнаментах Запретного города .
• Круглая алтарная платформа ( Земная гора ) Храма Неба имеет в центре одну круглую мраморную плиту, окруженную кольцом из девяти плит, затем кольцом из 18 плит и так далее, всего девять колец, причем крайний имеет 81 = 9 × 9 пластин.
• Название местности под названием Коулун в Гонконге буквально означает: девять драконов .
• Девятипунктирная линия ( китайский :南海九段线; пиньинь : nánhώi jiǔduàn xiàn ; букв. «Девятисегментная линия Южно-Китайского моря») разграничивает некоторые островные претензии Китая в Южно-Китайском море.
• Система девяти рангов представляла собой систему выдвижения кандидатов на государственную службу, использовавшуюся во времена некоторых китайских династий.
• 9 точек каналов сердца ( исцеление )/мастера сердца ( бессмертие ) в традиционной китайской медицине .

Древний Египет

• Девять луков — это термин, используемый в Древнем Египте для обозначения традиционных врагов Египта. ^[22]
• Эннеада — группа из девяти египетских божеств, которые в некоторых версиях мифа об Осирисе решали , должен ли Гор или Сет унаследовать Египет.

Европейская культура

• В скандинавской мифологии Вселенная разделена на девять миров , которые соединены мировым деревом Иггдрасиль . ^[23]
• В скандинавской мифологии число девять также связано с Одином , поскольку именно столько дней он висел на мировом дереве Иггдрасиль , прежде чем достиг знания рун .

Греческая мифология

• Девять муз в греческой мифологии — Каллиопа (эпическая поэзия), Клио (история), Эрато (эротическая поэзия), Эвтерпа (лирическая поэзия), Мельпомена (трагедия), Полигимния (песня), Терпсихора (танец), Талия (комедия), и Урания (астрономия).
• Девять дней требуется (наковальне), чтобы упасть с неба на землю, и еще девять, чтобы упасть с земли в Тартар .
• Лето трудился для Аполлона девять дней и девять ночей , согласно гомеровскому гимну Делосскому Аполлону.

Мезоамериканская мифология

• Повелители Ночи — это группа из девяти божеств, каждое из которых управляло каждой девятой ночью, образуя календарный цикл.

Ацтекская мифология

• Миктлан, подземный мир в ацтекской мифологии, состоит из девяти уровней.

Мифология майя

• Подземный мир майя Шибальба состоит из девяти уровней.
• Эль-Кастильо , ступенчатая пирамида майя в Чичен-Ице , состоит из девяти ступеней. Говорят, что это было сделано для обозначения девяти уровней Шибальбы .

Австралийская культура

Девять Пинтупи — группа из девяти австралийских женщин-аборигенов, которые не знали о европейской колонизации Австралии и до 1984 года жили традиционной жизнью в пустыне Гибсон в Австралии.

Антропология

Идиомы

• «пройти все девять ярдов…»
• « Девятихвостый кот предполагает идеальное наказание и искупление». – Роберт Рипли .
• «У кошки девять жизней»
• «быть на девятом облаке»
• " Стежок, сделанный вовремя, стоит девяти"
• «найдено верно в 9 из 10 раз»
• «владение – девять десятых закона»
• Слово «К-9» произносится так же, как « собачий », и используется во многих полицейских управлениях США для обозначения подразделения полицейских собак . Несмотря на то, что слово «собака» не похоже на перевод слова « собака» на другие языки, многие полицейские и военные подразделения по всему миру используют одно и то же обозначение.
• Кто-то, одетый «в пух и прах», наряжается настолько, насколько это возможно.
• В городской культуре Северной Америки «девять» — жаргонное слово, обозначающее 9-миллиметровый пистолет или убийство , последнее из Уголовного кодекса штата Иллинойс, обозначающее убийство.

Техника

Международный морской сигнальный флаг на 9 человек

Игральные карты с изображением девяток всех четырех мастей.

• Станинса , метод оценки результатов тестов, варьируется от 1 до 9.
• В квадратном дворе 9 квадратных футов .

Литература

• В «Божественной комедии» Данте девять кругов ада .
• Девять ярких сияющих персонажей трилогии Гарта Никса « Старое королевство» . «Девять ярких светил» — сборник стихов Энн Ридлер 1930-х годов ^[24] и художественная книга Антеи Фрейзер 1988 года; ^[25] название происходит от «очень любопытной старой полуязыческой, полухристианской» песни. ^[26]
• «Девять портных» — детективный роман британской писательницы Дороти Л. Сэйерс , вышедший в 1934 году, девятый роман с участием сыщика лорда Питера Уимзи .
• В оккультных легендах девять Неизвестных людей являются хранителями мировых наук с древних времен.
• В « Средиземье » Дж. Р. Р. Толкина мужчинам даны девять колец власти и, следовательно, девять призраков колец . Кроме того, Братство Кольца состоит из девяти спутников.
• В «Наследии Лориэна» на Землю отправлено девять Гвардейцев.
• Номер Девять — персонаж игры Lorien Legacies .
• В сериале «Песнь Льда и Огня» представлено девять регионов Вестероса (Королевские земли, Север, Речные земли, Западные земли, Предел, Штормовые земли, Долина Аррена, Железные острова и Дорн). Кроме того, на западе Эссоса существует группа из девяти городов-государств, известных под общим названием «Вольные города» (Бравос, Лорат, Лис, Мир, Норвос, Пентос, Кохор, Тирош и Волантис).
• В серии «Колесо времени» Дочь Девяти Лун — это титул, присвоенный наследнику престола Шончан, а Двор Девяти Лун служит тронным залом самих правителей Шончан. Кроме того, нацией Иллиана частично управляет орган, известный как Совет Девяти, и на флаге Иллиана изображены девять золотых пчел. Более того, в Age of Legends Девять Жезлов Владычества представляли собой девять региональных губернаторов, которые управляли отдельными территориями мира под управлением правящего мирового правительства.

Организации

• Божественная девятка - Национальный панэллинский совет (NPHC) представляет собой совместную организацию девяти исторически афроамериканских международных братств и женских клубов с греческими буквами.

Места и проезды

• Список автомагистралей под номером 9
• Девятая авеню — главная улица Манхэттена.
• В Южной Африке 9 провинций.
• Негери-Сембилан , малайзийский штат , расположенный на полуострове Малайзия , назван так, поскольку исторически он представлял собой конфедерацию девяти ( малайских : сембилан ) поселений ( нагари ) Минангкабау, мигрировавших с Западной Суматры .

Религия и философия

ислам

В Коране есть три аята , которые относятся к девяти .

Мы, несомненно, дали Моисею девять ясных знамений. ¹ «Ты, о Пророк, можешь спросить детей Израиля. Когда Моисей пришел к ним, фараон сказал ему: «Я действительно думаю, что ты, Моисей, околдован».

-  Сура Аль-Исра (Ночное путешествие / Бани Исраил): 101 ^[27]

Примечание 1: Девять признаков Моисея : посох, рука (оба упомянуты в суре Та-Ха 20:17-22), голод, неурожай, наводнения, саранча, вши, лягушки и кровь (все упомянуто в Сура Аль-Араф 7:130-133). Эти знамения явились доказательством для фараона и египтян . Кроме того, у Моисея были и другие знамения, например, вода, хлынувшая из скалы после того, как он ударил ее посохом, и расколовшая море.

Теперь просуньте руку в «отверстие» воротника, и он выйдет «сияющим» белым и незапятнанным. ² Вот два из девяти знамений для фараона и его народа. Они действительно были мятежным народом».

-  Сура Ан-Намль (Муравей): 12 ^[28]

Примечание 2: Моисея, который был темнокожим, попросили положить руку под мышку. Когда он вынул его, он сиял белым, но не из-за такого состояния кожи, как меланома.

И было в городе девять «знатных» людей, которые сеяли разврат на земле, никогда не делая того, что правильно.

-  Сура Аль-Намль (Муравей): 48 ^[29]

• Рамадан , месяц поста и молитвы, является девятым месяцем исламского календаря .

Девятиконечная звезда

• Девять, как высшее однозначное число (по основанию десять ), символизирует полноту Веры Бахаи . Кроме того, слово Баха в обозначениях Абджада имеет значение 9, а для обозначения религии используется 9-конечная звезда .
• Число 9 почитается в индуизме и считается полным, совершенным и божественным числом, поскольку оно представляет собой конец цикла десятичной системы, зародившейся на Индийском субконтиненте еще в 3000 году до нашей эры .
• В буддизме считалось, что Гаутама Будда обладал девятью добродетелями, которыми он был (1) достигшим совершенства, (2) совершенно просветленным, (3) наделенным знанием и поведением или практикой, (4) хорошо развитым или хорошо говорящим, (5) ) Знающий миры, (6) Непревзойденный Проводник людей, которых нужно приручить, (7) Учитель богов и людей, (8) Просветленный и (9) Благословенный.
• В важных буддийских ритуалах обычно участвуют девять монахов.
• Первые девять дней еврейского месяца Ав вместе известны как «Девять дней» ( Тиша ха-Ямим ) и представляют собой период полутраура, предшествующий Тиша бе-Ав , девятому дню Ава, в который оба Храма в Иерусалим был разрушен.
• Девять — значительное число в скандинавской мифологии . Один девять дней висел на ясене, чтобы выучить руны.
• Эннеаграмма Четвертого Пути — это система знаний, которая показывает соответствие между девятью целыми числами и кругом.
• В христианской ангельской иерархии имеется 9 хоров ангелов.
• Число триграммы Тяня по фэн-шуй в даосизме .
• В христианстве ожидается девять плодов Святого Духа , которые должны иметь последователи: любовь , радость , мир , терпение , доброта , благость , верность , кротость и самообладание .
• В Библии записано, что Христос умер в 9 часов дня (15:00). ^[30]

Наука

Астрономия

• До 2006 года (когда Плутон был официально признан непланетой ) в Солнечной системе было девять планет .
• Объект Мессье M9 представляет собой шаровое скопление звездной величины 9,0 в созвездии Змееносца .
• Объект Нового общего каталога NGC 9 , спиральная галактика в созвездии Пегаса .

Химия

• Чистота химических веществ (см. Девять (чистота) ).
• Девять — атомный номер фтора .

Физиология

Человеческая беременность обычно длится девять месяцев, что является основой правила Нэгеле .

Психология

Общая конечная цифра в психологическом ценообразовании .

Виды спорта

Бильярд: Стойка для девяти шаров с номером нет. 9 мяч в центре

• Девятка-болл - это стандартный вариант профессионального карманного бильярда , в который играют в Соединенных Штатах.
• В ассоциативном футболе центральный нападающий / нападающий традиционно (по крайней мере, с пятидесятых годов) носит футболку с номером 9.
• В бейсболе :
  • На поле девять игроков, включая питчера.
  • В стандартной игре девять иннингов.
  • 9 представляет позицию правого полевого игрока .
  • ДЕВЯТЬ: Журнал истории и культуры бейсбола , опубликованный Университетом Небраски Press ^[31]
• В лиге регби — номер на футболке, присваиваемый проститутке на большинстве соревнований. (Исключением является Суперлига , в которой используется статическая нумерация команд.)
• В союзе регби — номер, который носит стартовый полузащитник схватки .

Технологии

• ISO 9 — это стандарт ISO для транслитерации кириллических символов в латинские символы.
• В спецификации Rich Text Format 9 — это языковой код английского языка . Все коды региональных вариантов английского языка соответствуют 9 mod 256.
• The9 Limited (владелец the9.com) — компания, работающая в индустрии видеоигр, в том числе ранее связанная с чрезвычайно популярной MMORPG World of Warcraft .

Музыка

• « Revolution 9 », звуковой коллаж, который появляется на одноименном альбоме The Beatles 1968 года The Beatles (также известный как The White Album ) , заметно включает в себя цикл мужского голоса, повторяющего фразу «Номер девять». ^[32]
• В музыке мажорный шестой интервал состоит из 9 полутонов . ^[33]
• Среди некоторых известных композиторов классической музыки существовало суеверие , что они умрут после завершения своей девятой симфонии. В число композиторов, умерших после написания Девятой симфонии, входят Людвиг ван Бетховен , Антон Брукнер , Антонин Дворжак и Густав Малер . ^[34]
• Симфония № 9 Бетховена считается шедевром и одной из наиболее часто исполняемых симфоний в мире.
• Нотоносец партитуры состоит из девяти нот , состоящих из пяти строк и четырех пробелов.

Смотрите также

• Математический портал

• 9 (значения)
• 0,999...
• Девятое облако
• Список автомагистралей под номером 9

Рекомендации

1. Брайан Банч, Королевство бесконечных чисел . Нью-Йорк: WH Freeman & Company (2000): 93.
2. Михайлеску, Преда (2004). «Первичные циклотомные единицы и доказательство гипотезы Каталана». Дж. Рейн Анжью. Математика. Берлин: Де Грюйтер . 572 : 167–195. дои : 10.1515/crll.2004.048. MR  2076124. S2CID  121389998.
3. Мецянкюля, Тауно (2004). «Гипотеза Каталана: решена еще одна старая диофантова проблема» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . 41 (1): 43–57. дои : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5 . MR  2015449. S2CID  17998831. Збл  1081.11021.
4. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000537 (Сумма первых n кубов; или n-е треугольное число в квадрате.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 июня 2023 г.
5. "A049384 Слоана: a(0)=1, a(n+1) = (n+1)^a(n)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
6. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000166 (Субфакториальные или повторяющиеся числа, или нарушения: количество перестановок n элементов без фиксированных точек.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 декабря 2022 г.
7. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033950 (Числа, подлежащие рефакторингу: количество делителей k делит k. Также известно как числа тау.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 июня 2023 г.
8. Давенпорт, Х. (1939), «О проблеме Уоринга для кубов», Acta Mathematica , Сомервилл, Массачусетс: International Press of Boston, 71 : 123–143, doi : 10.1007/BF02547752 , MR  0000026, S2CID  120792546, Zbl  0021.10601
9. Пейс П., Нильсен (2007). «Нечетные совершенные числа имеют как минимум девять различных простых делителей». Математика вычислений . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . 76 (260): 2109–2126. arXiv : math/0602485 . Бибкод : 2007MaCom..76.2109N. дои : 10.1090/S0025-5718-07-01990-4 . МР  2336286. S2CID  2767519. Збл  1142.11086.
10. "A001006 Слоана: числа Моцкина" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
11. Уильям Х. Ричардсон. «Магические квадраты третьего порядка». Кафедра математики Университета штата Уичито . Проверено 6 ноября 2022 г.
12. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006003 (также последовательность M(n) магических констант для n X n магических квадратов)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 декабря 2022 г.
13. Роберт Диксон, Матография . Нью-Йорк: Публикации Courier Dover: 24.
14. Глисон, Эндрю М. (1988). «Трисекция угла, семиугольник и трискайдекагон». Американский математический ежемесячник . Тейлор и Фрэнсис, ООО . 95 (3): 191–194. дои : 10.2307/2323624. JSTOR  2323624. MR  0935432. S2CID  119831032.
15. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) . Журнал «Математика» . Тейлор и Фрэнсис, Ltd. 50 (5): 228-234. дои : 10.2307/2689529. JSTOR  2689529. S2CID  123776612. Збл  0385.51006.
16. Уэбб, Роберт. «Перечисление созвездий». www.software3d.com . Архивировано из оригинала 25 ноября 2022 года . Проверено 15 декабря 2022 г.
17. Коксетер, HSM (1956), «Регулярные соты в гиперболическом пространстве», Труды Международного конгресса математиков , том. III, Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. 167–169, MR  0087114.
18. Мартин Гарднер , Тренировка Гарднера: тренировка ума и развлечение духа . Нью-Йорк: АК Питерс (2001): 155.
19. Каджори, Флориан (1991, 5e) История математики , AMS. ISBN 0-8218-2102-4 . стр.91 
20. «Счастливое число девять, значение числа 9 в китайской культуре» . www.travelchinaguide.com . Проверено 15 января 2021 г.
21. Дональд Александр Маккензи (2005). Мифы Китая и Японии. Кессинджер. ISBN 1-4179-6429-4.
22. "Глобальный египетский музей | Девять луков" . www.globalegyptianmuseum.org . Проверено 16 ноября 2023 г.
23. Марк, Джошуа Дж. «Девять миров скандинавской космологии». Энциклопедия всемирной истории . Проверено 16 ноября 2023 г.
24. Джейн Доусон (1996). Женская поэзия 1930-х годов: критическая антология. Рутледж. ISBN 0-415-13095-6.
25. Антея Фрейзер (1988). Девять ярких сияющих. Даблдэй. ISBN 0-385-24323-5.
26. Чарльз Герберт Молден (1905). Воспоминания студента Итона, 1898–1902 гг. Споттисвуд. п. 182. Девятисветлячки.
27. "Сура Аль-Исра - 101" . Коран.com . Проверено 17 августа 2023 г.
28. "Сура Ан-Намль - 12" . Коран.com . Проверено 17 августа 2023 г.
29. "Сура Ан-Намль - 48" . Коран.com . Проверено 17 августа 2023 г.
30. «Значение чисел в Библии, число 9». Изучение Библии . Архивировано из оригинала 17 ноября 2007 года.
31. «Веб-сайт NINE: журнал истории и культуры бейсбола» . Архивировано из оригинала 4 ноября 2009 года . Проверено 20 февраля 2013 г.
32. Гловер, Дайан (9 октября 2019 г.). «Мечта № 9: Джон Леннон и нумерология». www.beatlesstory.com . История Битлз . Проверено 6 ноября 2022 г. Возможно, наиболее значительным использованием числа 9 в музыке Джона была композиция « Revolution 9 » из Белого альбома, экспериментальный звуковой коллаж, созданный под влиянием авангардного стиля Йоко Оно и таких композиторов, как Эдгар Варез и Карлхайнц Штокхаузен. Он включал в себя серию зацикленных записей, в том числе одну с повторяющимся объявлением «Номер девять». Джон сказал о «Революции 9»: «Это бессознательная картина того, что, как я думаю, на самом деле произойдет, когда это произойдет; просто как рисунок революции. Одним из моментов был голос инженера-испытателя, говорящий: «Это девятая серия испытаний на электромагнитные помехи». Я просто вырезал все, что он сказал, и поставил бы это под номер девять. Девять оказались моим днем ​​рождения, моим счастливым числом и всем остальным. Я этого не осознавал: это было так забавно, когда голос произносил «номер девять»; это было похоже на шутку: постоянно упоминать номер девять, вот и все».
33. Труакс, Барри (2001). Справочник по акустической экологии (интервал). Бернаби: Университет Саймона Фрейзера. ISBN 1-56750-537-6..
34. «Проклятие девятого преследовало этих композиторов | Редакционная статья WQXR» . WQXR . 17 октября 2016 г. Проверено 16 января 2022 г.

дальнейшее чтение

• Сесил Бальмонд, «Номер 9, поиск сигма-кода» 1998, Prestel 2008, ISBN 3-7913-1933-7 , ISBN 978-3-7913-1933-9