5

5 ( пять ) — это число , цифра и цифра . Это натуральное число и кардинальное число , следующее за 4 и предшествующее 6 , и является простым числом .

Пять — третье по величине простое число, ^[1] равное сумме единственных последовательных положительных целых чисел , которые также являются простыми числами ( 2 + 3 ). В целочисленных последовательностях пять также является вторым простым числом Ферма и третьим показателем простого числа Мерсенна , а также четвертым или пятым числом Фибоначчи ; ^[2] 5 — первое соответствующее число , а также длина гипотенузы наименьшего целостороннего прямоугольного треугольника , входящего в состав наименьшей пифагоровой тройки ( 3 , 4 , 5). ^[3]

В геометрии правильный пятиугольник — это первый правильный многоугольник , который не застилает плоскость копиями самого себя, и это самая большая грань , которую может иметь любое из пяти правильных трёхмерных правильных платоновых тел , как показано в правильный додекаэдр . Для кривых коника определяется по пяти точкам так же, как две точки необходимы для определения линии . ^[4]

В абстрактной алгебре и классификации конечных простых групп пять — это количество исключительных групп Ли , а также количество групп Матье , которые являются спорадическими группами . Пять — это также, более элементарно, количество свойств , которые используются для различения четырех фундаментальных систем счисления , используемых в математике и основанных на действительных числах .

Исторически цифра 5 привлекала внимание на протяжении всей истории, отчасти потому, что дистальные конечности человека обычно содержат пять цифр .

Системы счисления

В классификации систем счисления действительные числа и три последующие конструкции алгебр Кэли -Диксона над полем действительных чисел (т.е. комплексные числа , кватернионы и октонионы ) представляют собой нормированные алгебры с делением , которые содержат до пяти различных систем счисления. основные алгебраические свойства, представляющие интерес: являются ли алгебры упорядоченными и обладают ли они коммутативными , ассоциативными , альтернативными и степенно-ассоциативными мультипликативными свойствами. ^[5] В то время как действительные числа содержат все пять свойств, октонионы являются только альтернативными и степенно-ассоциативными. Для сравнения, седенионы , которые представляют пятую алгебру в этой серии, не являются композиционной алгеброй в отличие от и , являются только степенно-ассоциативными и являются первой алгеброй, которая содержит нетривиальные делители нуля , как и все дальнейшие алгебры над большими полями. ^[6] В общей сложности эти пять алгебр действуют соответственно над полями размерности 1, 2, 4, 8 и 16. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {O}$ $\mathbb {S}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {O}$

Классы целых чисел

Пять — это третье простое число , а точнее, второе суперпростое число, поскольку его простой индекс является простым. ^[1] Помимо того, что это сумма единственных последовательных положительных целых чисел, которые также являются простыми числами, 2 + 3 , это также единственное число, которое является частью более чем одной пары простых чисел-близнецов , ( 3 , 5) и (5) , 7 ); ^[7]^[8] это делает его первым сбалансированным простым числом с промежутками между простыми числами одинакового размера над и под ним (из 2). ^[9] 5 — первое безопасное простое число ^[10] , где для простого числа также является простое число ( 2 ) и первое хорошее простое число , поскольку это первое простое число, квадрат которого ( 25 ) больше произведения любых двух простых чисел на одинаковом количестве позиций до и после него в последовательности простых чисел (т.е. 3 × 7 = 21 и 11 × 2 = 22 меньше 25). ^[11] 11, пятое простое число, является следующим хорошим простым числом, которое также образует первую пару сексуальных простых чисел с 5. ^[12] Что более важно, пятое число Хигнера , которое образует мнимое квадратичное поле с уникальной факторизацией, также равно 11. ^[13] (и первое простое число с повторением в десятичной системе счисления , основание которого пять также является первым нетривиальным 1- автоморфным числом ). ^[14] 5 также является простым числом Эйзенштейна (как и 11) без мнимой части и действительной части формы . ^[1] $(p-1)/2$ ${\ displaystyle p}$ $3p-1$

5 — это первое простое число (и, в более общем плане, натуральное число ) , которое является палиндромным по основанию , где с соседними числами 4 и 6 — единственные два составных числа , которые являются строго непалиндромными в таком смысле. ^[15] Другими словами, все числа больше 6 в этой последовательности являются простыми, где 11 — следующее строго непалиндромное число после 6, равное сумме всех непростых чисел в последовательности (0, 1, 4 , 6). Положительные целые числа имеют представление в виде сумм трех палиндромных чисел только по основанию, большему или равному пяти ( пятеричному ). ^[16] $п$ $б$ $2\leq b\leq n-2$

Все простые числа, большие или равные 5 , конгруэнтны (а также ). $\pm 1{\text{ mod }}6$ $\pm 1{\text{ mod }}4$

Простые числа Мерсенна

5 является третьим показателем простой Мерсенна для , что дает одиннадцатое простое число и пятое суперпростое число 31 . ^[17]^[18]^[1] Это простой индекс третьего простого числа Мерсенна и второго двойного простого числа Мерсенна 127 , ^[19] а также третьего двойного простого числа Мерсенна для числа 2 147 483 647 , ^[19] которое является самым большим значение, которое может содержать знаковое 32-битное целочисленное поле . В совокупности 5 и 31 образуют сумму 36 ( квадрат 6 ) и разность 26 , которая является единственным числом , лежащим между квадратом и кубом (соответственно 25 и 27 ). ^[20] $п$ $2^{n}-1$ $а^{2}$ $b^{3}$

Есть только четыре известных двойных простых числа Мерсенна, причем пятый кандидат двойного простого числа Мерсенна = 2 ^{23058...93951} - 1 слишком велик для вычисления на современных компьютерах. В родственной последовательности первые пять членов последовательности чисел Каталана–Мерсенна являются единственными известными простыми членами, а шестой возможный кандидат имеет порядок 10 ¹⁰^{^37,7094} . Предполагается, что эти простые последовательности являются простыми до определенного предела. $M_{M_{61}}$ $M_{c_{n}}$

Простые числа Ферма

5 — второе простое число Ферма формы и, в более общем смысле, второе число Серпинского первого рода . ^[21] Всего известно пять простых чисел Ферма, в том числе 3 , 17 , 257 и 65537 . ^[22] Сумма первых трёх простых чисел Ферма, 3, 5 и 17, даёт 25 или 5 ² , а 257 — 55-е простое число. Комбинации из этих пяти простых чисел Ферма генерируют тридцать один многоугольник с нечетным числом сторон , которые можно построить исключительно с помощью циркуля и линейки , включая пятисторонний правильный пятиугольник . ^[23]^[24]^{: с.137–142} Кстати, тридцать один также равен сумме максимального числа площадей внутри круга, образованных из сторон и диагоналей первых пятисторонних многоугольников , что составляет равен максимальному количеству площадей, образуемых шестигранным многоугольником; по задаче о круге Мозера . ^[25]^[24]^{: стр. 76–78.} $2^{2^{n}}+1$ $n^{n}+1$ $п$

Простые числа Уилсона

5 также является первым из трех известных простых чисел Вильсона (5, 13, 563), ^[26] где квадрат простого числа делится . В случае , $p^{2}$ $(p-1)!+1.$ $p=5$

(5-1)!+1=4!+1=24+1=25=5^{2}.

Первые два простых числа Вильсона также являются последовательными простыми числами Прота ^[27] и числами Маркова , где 5 появляется в решениях диофантовых уравнений Маркова : (1, 2, 5), (1, 5, 13 ), (2, 5, 29) . ), (5, 13, 194 ), (5, 29, 433), ... ( OEIS : A030452 перечисляет числа Маркова, которые появляются в решениях, где один из двух других членов равен 5). 5 также является третьим простым факториалом , ^[28] поскольку , и первый нетривиальный знакопеременный факториал, равный абсолютному значению знакопеременной суммы первых трех факториалов, ^[29] $3!-1=5$ $3!-(2)!+(1)!=6-2+1=5.$

Совершенные числа

Суммы первых пяти непростых чисел больше нуля $1 + 4 + 6 + 8 + 9$ и первых пяти простых чисел $2 + 3 + 5 + 7 + 11$ равны 28 ; седьмое треугольное число и, как и 6, совершенное число , которое также включает 496 , тридцать первое треугольное число и совершенное число формы ( ) с a of , по теореме Евклида-Эйлера . ^[30]^[31]^[32] В большем семействе чисел Оре 140 и 496, соответственно, четвертый и шестой индексированные члены, оба содержат набор делителей , которые производят целочисленные гармонические средние значения , равные 5. ^[33]^[34] Пятое простое число Мерсенна, 8191 , ^[18] распадается на 4095 и 4096 , причем последнее является пятым сверхсовершенным числом ^[35] и шестой степенью четырёх, 4 ⁶ . $2^{p-1}$ $2^{p}-1$ ${\ displaystyle p}$ $5$

Пять — это также общее количество известных унитарных совершенных чисел , которые представляют собой числа, являющиеся суммами своих положительных собственных унитарных делителей . ^[36]^[37] Наименьшее такое число — 6, а наибольшее из них эквивалентно сумме 4095 делителей, где 4095 — наибольшее из пяти чисел Рамануджана–Нагеля , которые являются как треугольными числами, так и числами Мерсенна общего вида. . ^[38]^[39]

Факториал пяти кратно совершенен , как 28 и 496. ^[40] Это сумма первых пятнадцати ненулевых положительных целых чисел и 15-го треугольного числа , которое, в свою очередь, является суммой первых пяти ненулевых положительных целых чисел и 5-е треугольное число. Кроме того, , где 125 — второе число, аликвотная сумма которого равна 31 (после пятой степени двойки — 32). ^[41] $5!=120$ $120+5=125=5^{3}$

В фигурных числах

5 — пятиугольное число в последовательности фигурных чисел , которая начинается: 1, 5 , 12, 22, 35, … ^[42]

5 — центрированное тетраэдрическое число : 1, 5 , 15, 35, 69, ... ^[43] Каждое центрированное тетраэдрическое число с индексом 2, 3 или 4 по модулю 5 делится на 5.
5 — квадратное пирамидальное число : 1, 5 , 14, 30, 55, ... ^[44] Первые четыре члена в сумме дают 50 , а пятый индексированный член последовательности равен 55 .
5 — центрированное квадратное число : 1, 5 , 13, 25, 41, ... ^[45] Пятое квадратное число или 5 ² — это 25 , которое выражается в пропорциях двух наименьших (3, 4, 5 ) и ( 5 , 12, 13) примитивные пифагоровы тройки . ^[46]

31 — первое пятиугольное число с простым центром , ^[47] и пятое треугольное число с центром . ^[48] Пятое пятиугольное и тетраэдрическое число равно 35 , что равно сумме первых пяти треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15. ^[49] В последовательности пентатопных чисел , начинающихся с первого ( или пятая) ячейка пятого ряда треугольника Паскаля (слева направо или справа налево), первые несколько членов таковы: 1, 5, 15, 35, 70 , 126, 210, 330, 495,... ^{[ 50]} Первые пять членов этой последовательности в сумме дают 126 , что также является шестым пятиугольным пирамидальным числом ^[51] , а также пятым совершенным числом Гранвилля . ^[52] Это третье число Гранвилля, которое не является совершенным , и единственное известное такое число с тремя различными простыми делителями. ^[53] ${\mathcal {S}}$

55 — пятнадцатое дискретное бипростое число ,^[54] равное произведению 5, пятого простого числа и третьего суперпростого числа 11 .^[1] Эти два числа также образуют вторую пару (5, 11) чисел Брауна ,где пять также является вторым числом, принадлежащим первой паре ( 4 , 5); всего лишь пять различных чисел (4, 5, 7, 11 и 71) необходимы для генерации набора известных пар чисел Брауна, где третья и самая большая пара — ( 7 , 71 ).^[55]^[56] Пятьдесят пять — это также десятое число Фибоначчи ,^[57]сумма цифр котороготакже равна 10 в десятичном представлении. Это десятое треугольное число и четвертое двояко-треугольное число ^[58] ,пятое семиугольное число ^[59] и четвертое центрированное девятиугольное число [^60] и, как указано выше, пятое квадратно-пирамидальное число.^[44] Последовательность треугольных чисел, являющихся степенями 10, такова: 55, 5050 , 500500 , ...^[61] 55 по основанию десять также является четвертым числом Капрекара, как и все треугольные числа, являющиеся степенями десяти, которые изначально включает в себя 1 , 9 и 45 ,^[62] причем сорок пять сами по себе являются девятым треугольным числом, где 5 находится посередине между 1 и 9 в последовательности натуральных чисел . 45 также предполагается числом Рамсея [^63]^[64] и является числом Шредера – Гиппарха ; следующее и пятое такое число — 197 , сорок пятое простое число^[17] , которое представляет количество способов разрезать семиугольник на меньшие многоугольники путем вставки диагоналей .^[65] С другой стороны, пятисторонний выпуклый пятиугольник имеет одиннадцать способов разделения таким образом. $(п,м)$ $n!+1=m^{2}$ $п$ $R (5,5)$

Как нечетное число

Нерешенная задача по математике :

Является ли 5 единственным нечетным неприкасаемым числом?

(еще нерешенные задачи по математике)

Предполагается , что пять — единственное нечетное , неприкосновенное число ; если это так, то пять будет единственным нечетным простым числом, которое не является основой аликвотного дерева. ^[66]

Если пять — третье простое число и нечетное число, предполагается, что каждое нечетное число больше пяти можно выразить как сумму трех простых чисел; Хелфготт предоставил доказательство этого ^[67] (также известного как странная гипотеза Гольдбаха ), которое уже широко признано математиками, поскольку оно все еще проходит рецензирование . С другой стороны, каждое нечетное число больше единицы представляет собой сумму не более пяти простых чисел (в качестве нижнего предела). ^[68]

Другие последовательности

Полномочия

Как следствие маленькой теоремы Ферма и критерия Эйлера , все квадраты конгруэнтны 0 , 1 , 4 (или −1 ) по модулю 5. ^[69] Все целые числа могут быть выражены как сумма пяти ненулевых квадратов . ^[70]^[71] $n\geq 34$

Что касается проблемы Уоринга , где каждое натуральное число представляет собой сумму не более тридцати семи пятых степеней . ^[72]^[73] $g(5)=37$ $n\in \mathbb {N}$

Гипотеза Коллатца

Карта Коллатца орбит для малых нечетных чисел

В задаче Коллатца $3 x + 1$ 5 требует пяти шагов, чтобы достичь единицы путем умножения членов на три и добавления одного, если член нечетный (начиная с самого пяти), и деления на два, если они четные: {5 ➙ 16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}; единственное другое число, требующее пяти шагов, - это 32, поскольку 16 должно быть частью такого пути (см. изображение справа, где показана карта орбит для небольших нечетных чисел). ^[74]^[75]

В частности, 120 нужно пятнадцать шагов, чтобы прийти к 5: { 120 ➙ 60 ➙ 30 ➙ 15 ➙ 46 ➙ 23 ➙ 70 ➙ 35 ➙ 106 ➙ 53 ➙ 160 ➙ 80 ➙ 40 ➙ 20 ➙ 10 ➙ 5 }. Они включают в общей сложности шестнадцать чисел перед циклическим переходом через {16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}, где 16 — наименьшее число ровно с пятью делителями, ^[76] и одно из двух чисел, аликвотная сумма которых равна 15 . другому 33 . ^[41] В противном случае траектории 15 требуется семнадцать шагов, чтобы достичь 1, ^[75] где ее сокращенная траектория Коллатца равна пяти при подсчете шагов {23, 53, 5, 2, 1}, которые являются простыми, включая 1. ^[77] В целом, тринадцать чисел в карте Коллатца для 15 обратно в 1 являются составными , ^[74] где наибольшее простое число на траектории 120 обратно в {4 ➙ 2 ➙ 1 ➙ 4 ➙ ...} является шестнадцатым простым числом. номер, 53 . ^[17]

При обобщении гипотезы Коллатца на все положительные или отрицательные целые числа , −5 становится одной из четырех известных возможных начальных и конечных точек цикла, а в данном случае также за пять шагов: {−5 ➙ −14 ➙ −7 ➙ −20 ➙ − 10 ➙ −5 ➙ ...}. Другие возможные циклы начинаются и заканчиваются в -17 за восемнадцать шагов, в -1 за два шага и 1 за три шага. Это поведение аналогично циклу пути из пяти в задаче $3 x - 1$ , где 5 выполняет пять шагов для циклического возврата, в данном случае путем умножения членов на три и вычитания 1, если члены нечетные, а также деления пополам, если четные. ^[78] Это также первое число, порождающее нетривиальный цикл (т. е. 1 ➙ 2 ➙ 1 ➙ ...). ^[79]

Числа Писо – Виджаярагавана

В последовательности Фибоначчи , которую можно определить с помощью золотого сечения (см., например, формулу Бине ), 5 — это строго пятое число Фибоначчи ( , 1 , 1, 2, 3, 5 , 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...) — сумма 2 и 3 — ^[1] как единственное число Фибоначчи, большее 1, которое равно его положению. В планарной геометрии отношение стороны и диагонали правильного пятиугольника также равно . Точно так же 5 является членом последовательности Перрена , где 5 — это пятое и шестое числа Перрена , следующие за (2, 3, 2) и предшествующие (7, 17); ^[80] вместо этого эта последовательность связана с пластическим отношением , наименьшим «маленьким» числом Писо – Виджаярагхавана, которое не заменяет золотое сечение. ^[81] Это соотношение также связано с последовательностью Падована (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 , 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...), где 5 — двенадцатая ступень. член (а 12 - пятнадцатый), в котором --е число Падована удовлетворяет и ^[82] Манипулирование последовательностью коров Нараяны , которая имеет отношения, пропорциональные сверхзолотому сечению , как четвертое наименьшее число Писо-Виджаярагхавана, значение которого меньше золотого сечения. отношение, такое , что пятёрка появляется как четвёртый член: (1, 1, 4, 5 , 6, 10, 15, 21, 31, 46, 67, 98, 144, ...). ^[83]^[84] С другой стороны, 5 является частью последовательности чисел Пелля в качестве третьего индексированного члена (0, 1, 2, 5 , 12, 29, 70, 169, 408, ...). ^[85] Эти числа приблизительно пропорциональны степеням второго наименьшего числа Писо Виджаярагхавана, следующего за соотношением серебра ( и аналогично числам Фибоначчи, как степени ), которое появляется в правильном восьмиугольнике . $\varphi$ $\varphi$ $п$ $P (п)$ $P(0)=P(1)=P(2)=1,$ $P(n)=P(n-2)+P(n-3).$ $N_ {n}$ $A_{n}=N_{n}+2N_{n-3}$ $\varphi$ $\delta _{s}$ $\varphi$

Классы перестановок

Существует пять счетных бесконечных классов Рамсея перестановок , где возраст каждой счетной однородной перестановки образует индивидуальный класс Рамсея объектов , такой, что для каждого натурального числа и каждого выбора объектов не существует объекта, где в любом - раскраска всех подобъектов изоморфного существует одноцветный подобъект , изоморфный . ^[86]^{: стр.1, 2} Помимо , пятью классами перестановок Рамсея являются классы: ^[86]^{: стр.4} $K$ $г$ $A,B\in K$ $C\in K$ $г$ $C$ $А$ $B$ $\{1\}$

Перестановки идентичности и инверсии
Возрастающие последовательности убывающих последовательностей и убывающие последовательности возрастающих последовательностей
Все перестановки

Предел Фрэссе

В общем, предел Фрэссе класса конечной реляционной структуры является возрастом счетной однородной реляционной структуры тогда и только тогда, когда выполняются пять условий : она замкнута относительно изоморфизма , она имеет только счетное число классов изоморфизма , она наследственна , она является совместно вложенным и обладает свойством объединения . ^[86]^{: стр.3} $K$ $U$ $K$

Волшебные фигуры

5 — значение центральной ячейки первого нетривиального нормального магического квадрата , называемого квадратом Луошу . Его массив имеет магическую константу , где суммы его строк, столбцов и диагоналей равны пятнадцати. ^[87] С другой стороны, нормальный магический квадрат ^[a] имеет магическую константу , где 5 и 13 — первые два простых числа Вильсона . ^{[26] Пятое число}, возвращаемое функцией Мертенса, — это 65 , ^[88] с подсчетом количества целых чисел без квадратов до четного числа простых множителей минус количество чисел с нечетным числом простых множителей. 65 — девятнадцатое двупростое число с различными простыми множителями, ^[54] также с аликвотной суммой 19 ^[41] и эквивалентно $1$ $5$ $+ 2$ $4$ $+ 3$ $3$ $+ 4$ $2$ $+ 5$ $1$ . ^[89] Это также магическая константа проблемы Королев для , ^[90] пятого восьмиугольного числа , ^[91] и числа Стирлинга второго рода , которое представляет шестьдесят пять способов разделения набора из шести объектов на четыре не -пустые подмножества . ^[92] 13 и 5 — это также четвертое и третье числа Маркова соответственно, где шестой член в этой последовательности ( 34 ) — это магическая константа обычной магической октаграммы и магического квадрата. ^[93] Между этими тремя числами Маркова находится десятое простое число 29 ^[17] , которое представляет количество пятикубов , когда отражения считаются различными; это число также является пятым простым числом Люкаса после 11 и 7 (где первое простое число, не являющееся простым числом Люкаса, равно 5, за которым следует 13). ^[94] Магическая константа 505 генерируется обычным магическим квадратом, ^[93] где 10 — пятый составной . ^[95] $3\times 3$ $\mathrm {M}$ $15$ $5\times 5$ $\mathrm {M}$ $65=13\times 5$ $0$ $M (х)$ $х$ $n-$ $n=5$ ${\ displaystyle S (6,4)}$ $4\times 4$ $10\times 10$

5 также является значением центральной ячейки — единственного нетривиального нормального магического шестиугольника , состоящего из девятнадцати ячеек. ^[96]^[b] Где сумма магических констант этого нормального магического шестиугольника 3-го порядка ( 38 ) и нормального магического квадрата 5-го порядка (65) равна 103 — простой индекс третьего простого числа Вильсона 563, равный сумма всех трех пар чисел Брауна — их разница равна 27, что само по себе является простым индексом 103. ^[17] В десятичной системе счисления 15 и 27 — единственные двузначные числа, которые равны сумме их цифр (включительно). , т.е. 2 + 3 + ... + 7 = 27), причем эти два числа являются последовательными совершенными числами после 3 и 9 . ^[97] 103 — пятое нерегулярное простое число ^[98] , которое делит числитель (236364091) двадцать четвертого числа Бернулли и как таковое является частью восьмой нерегулярной пары (103, 24). ^[99] В двумерном массиве число плоских разбиений с суммой четыре равно тринадцати, а количество таких разбиений с суммой пять — двадцать четыре, ^[100] величина, равная сумме- делителей девятого арифметического числа 15 ^[101], делители которых также дают среднее арифметическое число 6 ^[102] (наряду с аликвотной суммой 9). ^[41] Наименьшее значение, которое может иметь магическая константа пятиконечной магической пентаграммы при использовании различных целых чисел, равно 24. ^[103]^[c] $B_{24}$

Геометрические свойства

Пентаграмма , или пятиконечная полиграмма , — это первый правильный звездчатый многоугольник , построенный из диагоналей правильного пятиугольника в виде самопересекающихся ребер , пропорции которых пропорциональны золотому сечению . Если равносторонний треугольник является первым правильным правильным многоугольником и единственным многоугольником без диагоналей , то правильный пятиугольник содержит такое же количество ребер и диагоналей. Пять — это сумма разностей числа диагоналей и сторон первых двух правильных многоугольников (в том числе и квадрата ) . ^[104] $\varphi$

Внутренняя геометрия пятиугольника и пентаграммы (представленная символом Шлефли ${5/2}$ ) заметно проявляется в мозаиках Пенроуза , и они являются гранями внутри звездных многогранников Кеплера-Пуансо и звездных многогранников Шлефли-Гесса . Фигура, похожая на пентаграмму, представляет собой пятиконечную простую изотоксальную звезду ☆ без самопересекающихся краев, часто встречающуюся внутри плиток исламского гириха (существует пять различных рудиментарных типов). ^[105]

Теория графов и плоская геометрия

В теории графов все графы с четырьмя или меньшим количеством вершин являются планарными , однако существует граф с пятью вершинами, который таковым не является: K ₅ , полный граф с пятью вершинами, где каждая пара различных вершин в пятиугольнике соединена уникальными точками. ребра, принадлежащие пентаграмме. По теореме Куратовского конечный граф является плоским тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, являющегося подразделением K ₅ , или полного двудольного графа полезности K _3,3 . ^[106] Аналогичным графом является граф Петерсена , который является сильно связным и к тому же непланарным . Его легче всего описать как график пентаграммы, заключенной внутри пятиугольника, всего с 5 пересечениями , обхватом 5 и числом Туэ 5. ^[107]^[108] Граф Петерсена, который также является расстоянием. регулярный граф — один из пяти известных связных вершинно-транзитивных графов без гамильтоновых циклов . ^[109]Группа автоморфизмов графа Петерсена — это симметрическая группа порядка 120 = 5 !. Поскольку полиномиальные уравнения степени 4 и ниже можно решать с радикалами, уравнения пятой степени и выше вообще не могут быть решены таким образом (см. теорему Абеля–Руффини ). Это связано с тем, что симметрическая группа является разрешимой при ⩽ , а не при ⩾ . $\mathrm {S} _{5}$ $\mathrm {S} _{n}$ $п$ $4$ $п$ $5$

Хроматическое число плоскости не менее пяти, в зависимости от выбора теоретико-множественных аксиом : минимальное количество цветов , необходимое для раскраски плоскости так, чтобы ни одна пара точек на расстоянии 1 не имела одинакового цвета. ^[110]^[111] В то время как шестиугольный граф Голомба и правильная шестиугольная мозаика генерируют хроматические числа 4 и 7 соответственно, хроматическая раскраска 5 может быть достигнута в более сложном графе, где несколько веретеен Мозера с четырьмя раскрасками связаны так, что ни в одной раскраске всего графа не существует одноцветных троек, поскольку это привело бы к равностороннему расположению, стремящемуся к чисто шестиугольной структуре .

Плоскость также содержит в общей сложности пять решеток Браве или массивов точек , определенных дискретными операциями перемещения : шестиугольную , наклонную , прямоугольную , центрированную прямоугольную и квадратную решетки. Кроме того, однородные мозаики плоскости генерируются из комбинаций всего пяти правильных многоугольников: треугольника , квадрата , шестиугольника , восьмиугольника и двенадцатиугольника . ^[112] Плоскость также можно моноэдрально замостить выпуклыми пятиугольниками пятнадцатью различными способами, три из которых имеют мозаику Лавеса как особые случаи. ^[113]

Многогранная геометрия

В трехмерном пространстве есть пять правильных платоновых тел : тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. ^[114] Додекаэдр , в частности, содержит пятиугольные грани, в то время как икосаэдр , его двойственный многогранник , имеет вершинную фигуру , которая представляет собой правильный пятиугольник. Эти пять правильных тел ответственны за создание тринадцати фигур, которые можно отнести к полуправильным телам , которые называются архимедовыми телами . Их также пять:

Соединения правильных многогранников : соединение пяти тетраэдров , соединение десяти тетраэдров, соединение пяти кубов, соединение пяти октаэдров и стелла-октангула . [ ^115] Икосаэдрическая симметрия изоморфна чередующейся группе из пяти букв порядка 120 , реализуемой воздействиями на эти однородные соединения многогранников (кроме правильного соединения двух тетраэдров). Все пятнадцать зеркальных плоскостей проходят через края правильного сферического соединения пяти октаэдров , наборы из трех ортогональных больших кругов которого используют пять цветов. ^[г]^[116]^[117] $\mathrm {I} _{h}$ $\mathrm {A} _{5}$ $\mathrm {I} _{h}$
Заполняющие пространство выпуклые многогранники с правильными гранями: треугольная призма, шестиугольная призма , куб, усечённый октаэдр и гиробифастигий . ^[118] Куб — единственное платоновское тело, которое может мозаику пространства само по себе, а усечённый октаэдр и гиробифастигий — единственные архимедовы тела и тела Джонсона , соответственно, которые могут мозаику пространства со своими собственными копиями.
Ячеисто-переходные параллелоэдры : любой параллелепипед , а также ромбдодекаэдр , вытянутый додекаэдр , шестиугольная призма и усеченный октаэдр. ^[119] Куб — это частный случай параллелепипеда, а ромбический додекаэдр (с пятью звёздочками по правилам Миллера ) — единственное каталонское тело, которое само по себе мозаично образует мозаику. ^[120]
Правильные абстрактные многогранники , к которым относятся раскопанный додекаэдр и додекадодекаэдр . ^[121] Они обладают комбинаторной симметрией, транзитивной по флагам своих элементов, с топологией , эквивалентной топологии тороидов , и способностью замостить гиперболическую плоскость .

Более того, пятое пятиугольное пирамидальное число представляет собой общее количество индексированных однородных составных многогранников , ^[115] которое включает семь семейств призм и антипризм . Семьдесят пять — это также число непризматических однородных многогранников , куда входят платоновы тела, архимедовы тела и звездчатые многогранники ; существует также ровно пять однородных призм и антипризм , которые содержат в качестве граней пятиугольники или пентаграммы — пятиугольная призма и антипризма , а также пентаграммная призма , антипризма и скрещенная антипризма . ^[122] Всего существует двадцать пять однородных многогранников , образующих четырехмерные однородные многохоры , это пять платоновых тел, пятнадцать архимедовых тел, считая две энантиоморфные формы, и пять связанных с ними призм: треугольная , пятиугольная , шестиугольная , восьмиугольная , и десятиугольные призмы. $75=15\times 5$

Четырехмерное пространство

Пентатоп , или 5-ячеечный, представляет собой самодуальный четырехмерный аналог тетраэдра с симметрией группы Кокстера порядка 120 = 5 ! и структуру группы . Многоугольник Петри , состоящий из пяти тетраэдров, представляет собой правильный пятиугольник , а его ортогональная проекция эквивалентна полному графу K ₅ . Это один из шести правильных 4-многогранников , составленных из тридцати одного элемента : пяти вершин , десяти ребер , десяти граней , пяти тетраэдрических ячеек и одной 4-грани . ^[123]^{: стр. 120} $\mathrm {A} _{4}$ $\mathrm {S} _{5}$

Обычный 120-ячеечный полихорон , двойной полихорон к обычному 600-ячеечному , может вместить сто двадцать 5-ячеечных ячеек. Кроме того, пять 24-ячеечных ячеек помещаются внутри небольшой звездчатой 120-ячеечной ячейки , первой звездчатой из 120 ячеек.
Подмножеству вершин маленькой звездчатой 120-ячейки соответствует большая звезда дуоантипризмы , которая является единственным однородным невыпуклым дуоантипризматическим решением в четвертом измерении, построенным из декартова многогранника и состоящим из пятидесяти тетраэдров , десяти пентаграммных скрещенных антипризм , десять пятиугольных антипризм и пятьдесят вершин. ^[123]^{: стр. 124} $\{5\}\otimes \{5/3\}$
Большая антипризма , которая является единственной известной невитоффовой конструкцией однородного полихорона, состоит из двадцати пятиугольных антипризм и трехсот тетраэдров, имеющих в общей сложности сто вершин и пятьсот ребер. ^[124]
Абстрактная четырехмерная 57-ячеечная структура состоит из пятидесяти семи полуикосаэдрических ячеек, по пять из которых окружают каждое ребро. ^[125]11-cell , еще один абстрактный 4-многогранник с одиннадцатью вершинами и пятьдесят пятью ребрами, состоит из одиннадцати полудодекаэдрических ячеек, каждая с пятнадцатью ребрами. ^[126] Скелет полудодекаэдра — граф Петерсена .

В целом, четвертое измерение содержит пять фундаментальных групп Вейля , которые образуют конечное число однородных многохор, основанных всего на двадцати пяти однородных многогранниках: , , , , и , сопровождаемые пятой или шестой общей группой уникальных 4-призм Платона и Архимеда. твердые вещества. Также существует в общей сложности пять групп Кокстера , которые генерируют непризматические евклидовы соты в 4-мерном пространстве, наряду с пятью компактными гиперболическими группами Кокстера , которые генерируют пять регулярных компактных гиперболических сот с конечными гранями , как в случае с 5-ячеечными сотами порядка 5 и Соты порядка 5 из 120 ячеек , каждая из которых имеет по пять ячеек вокруг каждой грани. Компактные гиперболические соты существуют только до четвертого измерения или ранга 5 , а паракомпактные гиперболические решения существуют до ранга 10. Аналогично, аналоги четырехмерной гексадекахорной или икоситетрахорной симметрии не существуют в измерениях ⩾ ; однако в пятом измерении существуют призматические группы , содержащие призмы правильных и однородных 4-многогранников , обладающие симметрией . В четвертом измерении также есть пять правильных проективных 4-многогранников , все из которых являются полумногогранниками правильных 4-многогранников, за исключением 5-клеточного. ^[127] В каждом многомерном пространстве существуют только два правильных проективных многогранника. $\mathrm {A} _{4}$ $\mathrm {B} _{4}$ $\mathrm {D} _{4}$ $\mathrm {F} _{4}$ $\mathrm {H} _{4}$ $\mathrm {H} _{4}$ $\mathrm {F} _{4}$ $n$ $5$ $\mathrm {H} _{4}$ $\mathrm {F} _{4}$

Как правило, звездчатые многогранники , которые являются правильными, существуют только в размерах ⩽ < и могут быть построены с использованием пяти правил Миллера для звездчатых многогранников или многогранников более высокой размерности . ^[128] $2$ $n$ $5$

Кривая Бринга

В частности, поверхность Бринга представляет собой кривую на проективной плоскости , которая представляется однородными уравнениями : ^[129] $\mathbb {P} ^{4}$

v+w+x+y+z=v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=v^{3}+w^{3}+x^{3}+y^{3}+z^{3}=0.

Он содержит самую большую возможную группу автоморфизмов комплексной кривой четвертого рода с групповой структурой . Это риманова поверхность , связанная с малым звездчатым додекаэдром , фундаментальным многоугольником которого является правильный гиперболический икосагон , с площадью (по теореме Гаусса-Бонне ). Включая отражения, его полная группа симметрий порядка 240 ; что также является количеством $(2,4,5)$ гиперболических треугольников, образующих мозаику его основного многоугольника. Квинтик Брингика содержит корни , удовлетворяющие кривой Бринга. $\mathrm {S} _{5}$ $12\pi$ $\mathrm {S} _{5}\times \mathbb {Z} _{2}$ $x^{5}+ax+b=0$ $x_{i}$

Пятимерное пространство

5 -симплекс или гексатерон является пятимерным аналогом 5-клеточного или 4-симплекса. В качестве группы симметрии он имеет группу Кокстера порядка 720 = 6 ! , групповая структура которого представлена симметрической группой , единственной конечной симметрической группой, имеющей внешний автоморфизм . 5 -куб , состоящий из десяти тессерактов и 5-ячейки в качестве его вершинной фигуры, также является правильным и одним из тридцати одного однородного 5-многогранника в гиперкубической группе Кокстера . Демипентеракт со ста двадцатью ячейками является единственным пятимерным полуправильным многогранником и имеет выпрямленный 5-ячеечный в качестве вершинной фигуры, который является одним из трех полуправильных 4-многогранников наряду с выпрямленным 600- многогранником . ячейка и курносая 24-ячеечная . В пятом измерении есть пять правильных паракомпактных сот, все с бесконечными гранями и фигурами вершин ; в более высоких измерениях не существует других обычных паракомпактных сот. ^[130] В комплексных пространствах размерностей ⩾ также имеется исключительно двенадцать комплексных апериотопов ; наряду со сложными многогранниками в и выше под симплексными , гиперкубическими и ортоплексными группами (с многогранниками Ван Осса ). ^[131] $\mathrm {A} _{5}$ $\mathrm {S} _{6}$ $\mathrm {B} _{5}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $n$ $5$ $\mathbb {C} ^{5}$

Поверхность Веронезе

Поверхность Веронезе на проективной плоскости обобщает линейное условие содержания точки внутри коники , где пять точек определяют конику . ^[4] $\mathbb {P} ^{5}$ $\nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}$

В конечных простых группах

Группы лжи

Существует пять комплексных исключительных алгебр Ли : , , , , и . Самый маленький из них, действительной размерности 28, можно представить в пятимерном комплексном пространстве и спроецировать в виде шара, катящегося по другому шару, движение которого описывается в двумерном пространстве. ^[132] является самой большой и содержит остальные четыре алгебры Ли как подгруппы с представлением в размерности 496. Она содержит связанную с ней решетку , построенную из ста двадцати кватернионных единичных икосианов , составляющих вершины 600-мерного числа. cell , чьи евклидовы нормы определяют квадратичную форму на решетчатой структуре, изоморфной оптимальной конфигурации сфер в восьми измерениях. ^[133] Эта решетчатая структура упаковки сфер в 8-мерном пространстве удерживается расположением вершин сот 5 21 , одной из пяти евклидовых сот, которые допускают оригинальное определение Госсета полуправильных сот , которое включает трехмерные чередующиеся кубические соты. . ^[134]^[135] Наименьший простой изоморфизм, найденный внутри конечных простых групп Ли , равен , ^[136] где здесь представлены знакопеременные группы и классические группы Шевалле . В частности , наименьшей неразрешимой группой является знакопеременная группа из пяти букв, которая также является наименьшей простой неабелевой группой. ${\mathfrak {g}}_{2}$ ${\mathfrak {f}}_{4}$ ${\mathfrak {e}}_{6}$ ${\mathfrak {e}}_{7}$ ${\mathfrak {e}}_{8}$ ${\mathfrak {g}}_{2}$ ${\mathfrak {e}}_{8}$ $\mathbb {R}$ $\mathrm {E} _{8}$ $\mathrm {A_{5}} \cong A_{1}(4)\cong A_{1}(5)$ $\mathrm {A_{n}}$ $A_{n}(q)$

Спорадические группы

На этой диаграмме показаны субфакторные отношения двадцати шести **спорадических групп** ; пять групп Матье образуют простейший класс (окрашены в красный цвет).).

Пять групп Матье составляют первое поколение счастливой семьи спорадических групп . Это также первые пять описанных спорадических групп , определенных как кратно транзитивные группы перестановок объектов с е {11, 12, 22, 23, 24}. ^[137]^{: с.54} В частности, наименьшая из всех спорадических групп, имеет действие ранга 3 на пятидесяти пяти точках из индуцированного действия на неупорядоченных парах , а также два пятимерных точных комплексных неприводимых представления над полем. с тремя элементами, что является наименьшим неприводимым размерным представлением всей спорадической группы над соответствующими полями с элементами. ^[138] Из ровно пяти различных классов сопряженности максимальных подгрупп из , один является почти простой симметрической группой (порядка 5 ! ), а другой , также почти простым, который функционирует как стабилизатор точки , который содержит пять в качестве своего наибольшего простого множителя. в порядке группы : $2$ $4$ $\cdot 3$ $2$ $\cdot 5 =$ $2$ $\cdot$ $3$ $\cdot$ $4$ $\cdot 5 \cdot$ $6$ $=$ $8$ $\cdot$ $9$ $\cdot$ $10$ $= 720$ . С другой стороны, хотя она резко 4-транзитивна, резко 5-транзитивна и 5-транзитивна, и как таковые они являются единственными двумя 5-транзитивными группами, которые не являются симметричными группами или альтернирующими группами . ^[139] имеет первые пять простых чисел в качестве отдельных простых множителей в порядке $2$ $7$ $\cdot 3$ $2$ $\cdot 5 \cdot$ $7$ $\cdot$ $11$ и является наименьшей из пяти спорадических групп с пятью различными простыми множителями в своем порядке. ^[137]^{: стр.17} Все группы Матье являются подгруппами , что в соответствии с дизайном Витта системы Штейнера возникает конструкция расширенного двоичного кода Голея , который имеет в качестве группы автоморфизмов . ^[137]^{: стр. 39, 47, 55} генерирует октады. $\mathrm {M} _{n}$ $n$ $n$ $\mathrm {M} _{11}$ $n$ $\mathrm {M} _{11}$ $\mathrm {S} _{5}$ $\mathrm {M} _{10}$ $\mathrm {M} _{11}$ $\mathrm {M} _{12}$ $\mathrm {M} _{24}$ $\mathrm {M} _{22}$ $\mathrm {M} _{24}$ $\mathrm {W} _{24}$ $\operatorname {S(5,8,24)}$ $\mathrm {B} _{24}$ $\mathrm {M} _{24}$ $\mathrm {W} _{24}$ из кодовых слов веса Хэмминга 8 из расширенного двоичного кода Голея, одного из пяти различных весов Хэмминга, которые использует расширенный двоичный код Голея: 0, 8, 12, 16 и 24. ^[137]^{: стр.38} Схема Витта и расширенный двоичный код Голея, в свою очередь _, можно использовать для генерации точной конструкции 24-мерной решетки Лича Λ24 , которая в основном строится с использованием вектора Вейля , допускающего единственное неунитарное решение задачи о пушечном ядре , где сумма квадраты первых двадцати четырех целых чисел эквивалентны квадрату другого целого числа, пятого пентатопного числа (70). Подфакторы автоморфизма решетки Лича, группы Конвея , в свою очередь являются предметом второго поколения семи спорадических групп. ^[137]^{: стр.99, 125.} $(0,1,2,3,\dots ,24;70)$ $\mathrm {Co} _{0}$

Существует пять несуперсингулярных простых чисел — 37 , 43 , 53 , 61 и 67 — меньше 71 , что является самым большим из пятнадцати суперсингулярных простых чисел , разделяющих отряд дружественных гигантов , которые сами по себе являются крупнейшей спорадической группой. ^[140] В частности, централизатор элемента порядка 5 внутри этой группы возникает в результате произведения спорадической группы Харады–Нортона и группы порядка 5. ^[141]^[142] Сам по себе может быть представлен с помощью стандартных генераторов это дополнительно диктует условие, при котором . ^[143]^[144] Этому условию соблюдаются и другие генераторы, принадлежащие группе Титса , ^[145] единственной конечной простой группе , которая является нестрогой группой лиева типа, которую также можно классифицировать как спорадическую (пятую по величине из все двадцать семь тоже по заказу). Более того, над полем с пятью элементами существует 133-мерное представление, где 5 действует на коммутативное , но неассоциативное произведение как 5- модулярный аналог алгебры Грисса ^♮ , ^[146] которая содержит дружественного гиганта как свою группу автоморфизмов. . $\mathrm {HN}$ $\mathrm {HN}$ $(a,b,ab)$ $o([a,b])=5$ $\mathrm {T}$ $\mathrm {HN}$ $V_{2}$

Личность Эйлера

Тождество Эйлера + = содержит пять основных чисел, широко используемых в математике: постоянная Архимеда , число Эйлера , мнимое число , единица и ноль . ^[147]^[148]^[149] $e^{i\pi }$ $1$ $0$ $\pi$ $e$ $i$ $1$ $0$

Перечень основных расчетов

Десятичные свойства

Все кратные 5 оканчиваются либо на 5, либо на 0 , а обычные дроби с 5 или 2 в знаменателе не дают бесконечных десятичных разложений, поскольку они являются простыми делителями 10 , основания.

В степенях 5 каждая степень заканчивается цифрой пять, и начиная с 5 ³ и далее, если показатель степени нечетный , то цифра сотен равна 1 , а если четная, цифра сотен равна 6 .

Число , возведенное в пятую степень, всегда оканчивается той же цифрой, что и . $n$ $n$

Эволюция арабской цифры

Эволюция современной западной цифры числа пять восходит к индийской системе цифр, где в некоторых более ранних версиях цифра напоминала вариации цифры четыре, а не цифру 5 (как она представлена сегодня). ). Империи Кушан и Гуптов на территории нынешней Индии имели между собой несколько форм, не имеющих никакого сходства с современной цифрой. Позже арабские традиции преобразовали цифру несколькими способами, создав формы, которые все еще были похожи на цифру четыре, но со сходством с цифрой три; тем не менее, все еще в отличие от современной пятерки. ^[150] Именно из этих цифр европейцы наконец пришли к современной цифре 5 (представленной, например, в трудах Дюрера).

В то время как форма символа цифры 5 в большинстве современных шрифтов имеет восходящую часть , в шрифтах с текстовыми фигурами глиф обычно имеет нижнюю часть , как, например, в.

На семисегментном дисплее калькулятора и цифровых часов он представлен пятью сегментами, совершающими четыре последовательных поворота сверху вниз, вращающимися сначала против часовой стрелки, затем по часовой стрелке и наоборот. Это одно из трех чисел наряду с 4 и 6, где количество сегментов соответствует числу.

Другие поля

Астрономия

В системе двух тел имеется пять точек Лагранжа .

Биология

Обычно считается, что существует пять чувств (в общих чертах ); Пять основных вкусов — сладкий , соленый , кислый , горький и умами . ^[151] Почти у всех земноводных, рептилий и млекопитающих, имеющих пальцы рук или ног, их по пять на каждой конечности. ^[152] Пять — это число придатков у большинства морских звезд , которые обладают пентамеризмом . ^[153]

Вычисление

5 — это ASCII- код символа запроса , который сокращается до ENQ. ^[154]

Литература

Поэзия

Пентаметр — это стих с пятью повторяющимися стопами в строке; пятистопный ямб был наиболее известной формой, используемой Уильямом Шекспиром . ^[155]

Музыка

В современной нотной записи используется нотный стан , состоящий из пяти горизонтальных линий. ^[156] Шум с пятью нотами на октаву называется пентатоникой . ^[157] Идеальная квинта — это наиболее согласная гармония, которая является основой большинства западных систем настройки. ^[158] В гармониках пятый частичный (или 4-й обертон ) основного тона имеет соотношение частот 5:1 к частоте этого основного тона. Это соотношение соответствует интервалу в 2 октавы плюс чистая мажорная треть. Таким образом, интервал 5:4 — это интервал чистой терции. Аккорд мажорного трезвучия , сыгранный только по интонации (чаще всего в ансамблевом пении а капелла ), будет содержать такую чистую мажорную треть.

Пять — это наименьшее возможное число, которое может быть верхним числом тактового размера с асимметричным размером .

Религия

иудаизм

Книга Чисел — одна из пяти книг Торы ; остальные — книги Бытия , Исхода , Левита и Второзакония . Их все вместе называют Пятикнижием Моисея , Пятикнижием ( по- гречески «пять вместилищ», имея в виду футляры для свитков, в которых хранились книги) или Хумаш ( חומש , на иврите «пятый»). [ 159 ^] Хамса , древний символ в форме руки с четырьмя пальцами и одним большим пальцем, используется евреями в качестве защитного амулета ; этот же символ также очень популярен в арабской культуре и известен тем, что защищает от зависти и сглаза . ^[160]

христианство

Традиционно в христианстве существует пять ран Иисуса Христа : раны от гвоздей на двух руках Христа, раны от гвоздей на двух ногах Христа и рана Христа от копья (соответственно на четырех концах тела и голове). ^[161]

ислам

Пять столпов ислама . ^[162]

Мистика

Гностицизм

Число пять было важным символическим числом в манихействе , где небесные существа, концепции и т. д. часто группировались в группы по пять.

Алхимия

Согласно древнегреческим философам, таким как Аристотель , Вселенная состоит из пяти классических элементов : воды , земли , воздуха , огня и эфира . Позднее эта концепция была принята средневековыми алхимиками , а в последнее время — практикующими неоязыческих религий, таких как Викка . Согласно индуистской космологии , во Вселенной существует пять элементов : дхарти, агни, джал, вайю эвам акаш (земля, огонь, вода, воздух и пространство соответственно). В восточноазиатской традиции существует пять элементов: вода , огонь , земля , дерево и металл . ^[163] Японские названия дней недели , со вторника по субботу , происходят от этих элементов путем отождествления элементов с пятью планетами , видимыми невооруженным глазом . ^[164] Кроме того, традиционный японский календарь имеет пятидневный еженедельный цикл, который до сих пор можно наблюдать в печатных смешанных календарях, сочетающих западные, китайско-буддийские и японские названия каждого дня недели. В традиционном китайском Усине также есть пять элементов . ^[165]

Квинтэссенция , что означает «пятый элемент», относится к неуловимому пятому элементу, который дополняет четыре основных элемента (воду, огонь, воздух и землю) как их союз. ^[166] Пентаграмма , или пятиконечная звезда, имеет мистическое значение в различных системах верований, включая бахаи , христианство , масонство , сатанизм , даосизм , Телему и Викку .

Разные поля

«Дайте мне пять» — распространенная фраза, используемая перед словом «дай пять» .
Символом Олимпийских игр являются пять переплетенных колец, обозначающих количество населенных континентов, представленных олимпийцами (Европа, Азия, Африка, Австралия и Океания, а также Америка). ^[167]
Количество точек в квинконсе . ^[168]

Смотрите также

5 (значения)

Примечания

^ ${\begin{bmatrix}17&24&1&8&15\\23&5&7&14&16\\4&6&13&20&22\\10&12&19&21&3\\11&18&25&2&9\end{bmatrix}}$
^
^
^

Внешние ссылки

Главные диковинки: 5
СМИ, связанные с 5 (числом) на Викискладе?

5